Är derivatan k värdet

Parabelns lutning i en punkt är tangentens k-värde i punkten. Tidigare lärde vi oss hur formeln för derivatans definition fungerar och hur vi med hjälp av den kan beräkna derivatan i en viss punkt för en given funktion. Dock kan det vara klumpigt att behöva återvända till derivatans definition varje gång man ska derivera räkna ut gränsvärden för en funktion.

Derivatan betecknas olika i olika litteratur. Det finns deriveringsregler som kan härledas utifrån derivatans definition och sedan används för att beräkna derivatan för ett antal vanligt återkommande funktioner.

Derivatans definition

I tidigare avsnitt beräknade vi derivatan i en punkt. Nu skall vi beräkna derivatan för alla x i funktionens hela definitionsmängd. Då ersätter man punkten a med variabeln x. Derivatan blir då i sig en funktion i samma definitionsmängd. Men innan vi börjar kolla på deriveringsreglerna tar vi en repetition av funktionsbegreppet. Mer om funktionsbegreppet i Matte 1 och Matte 2.

Funktionsbegreppet är centralt för derivatan. T ex plast in i en maskin och ut kommer muggar. Volymkontroll ökas på en förstärkare, så ökas volymen. Varje inställt värde på volymkontrollen medför en viss effekt ut. Mer formellt är en funktion en regel som avbildar en definitionsmängd av x entydigt på en värdemängd f x. Vi ska nu härleda några av de enklaste och nyttigaste deriveringsreglerna.

Det viktigaste är inte att kunna härleda dessa på egen hand, utan främst att kunna följa med i och förstå härledningen, och att sedan kunna använda de deriveringsregler som vi kommer fram till. Här ser vi att derivatan är densamma för alla värden på x - derivatan är alltid 5 för denna funktion. Om vi studerar uträkning ovan kan vi ana oss till att det finns ett generellt samband mellan den enkla linjära funktionens k -värde och derivatan som du nog minns bestämmer k -värdet just en linje lutning och är lika för alla punkter längs linjen :.

Sambandet mellan denna enkla andragradsfunktion och denna andragradsfunktions derivata är inte lika lätt att se som för den enkla förstagradsfunktionen, men så här ser det generella sambandet ut för fallet med enkla andragradsfunktioner:. På samma sätt som vi såg att vi kunde göra för enkla andragradsfunktioner, kan vi härleda enkla tredjegradsfunktioners derivata.

Innan vi tittar på hur polynomfunktionerna deriveras generellt tittar vi på "nolltegradsfunktionen" det vill säga x 0 som motsvarar funktioner som besår av enbart en konstant term.

Derivatan av x Här ser vi att derivatan är densamma för alla värden på x - derivatan är alltid 5 för denna funktion.

Derivatans definition Vi säger att det finns en tangent som tangerar parabeln f(x)= x2+2x och går igenom punkten (4,3).

Derivata exempel k-värdet för linjen som sammanbinder dessa båda punkter blir: $$k=\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ Om vi nu låter den högra punkten ((x+h), f(x+h)) ligga närmare och närmare den vänstra (x, f(x)), så innebär det att vi låter h, avståndet mellan punkterna, gå mot noll.

Derivatan av x^2 Derivatan beskriver lutningen, vilket är just \(k\)-värdet.

En nolltegradsfunktion är en funktion med en x 0 -term som den term som har högst gradtal. Ett exempel på en sådan funktion är följande:. Denna funktions graf är en horisontell linje alltså en linje som är parallell med x-axeln. Denna nolltegradsfunktions derivata blev mycket riktigt lika med 0, som väntat. Viktigt att tänka på är att vi kan inte först sätta in punkten i funktionen och sen derivera enligt deriveringsreglerna.

Därför måste vi först derivera med avseende på variabeln x och vi får istället.

Deriveringsregler

Se funktionsbegreppet tidigare. Nu har vi undersökt derivatan för enkla polynomfunktioner av olika gradtal. Men vad händer om vi har en polynomfunktion som innehåller termer av olika gradtal? Ett exempel på en sådan polynomfunktion är följande:. Att härleda detta funktionsuttrycks derivata går att göra på samma sätt som vi gjort tidigare för enklare funktioner, med hjälp av derivatans definition.

Om vi har räknat rätt så kommer vi fram till följande samband mellan denna exempelfunktion och dess derivata:. Om vi jämför termerna i uttrycket för derivatan med funktionen i detta exempel, så ser vi att dessa motsvarar summan av derivatan av de ingående termerna i det ursprungliga funktionsuttrycket. Generellt kan man säga att sambandet mellan en polynomfunktion som består av flera termer och denna funktions derivata följer denna regel:.

Alltså: derivatan för hela polynomfunktionen får man genom att summera derivatan för varje term i funktionen för sig. Vi ska även derivera några andra vanliga funktioner, men utan härledning med hjälp av derivatans definition. Vi nöjer oss med att derivera utifrån reglerna vi nyss kommit fram till. Sista exemplet är när vi undersöker hur det ser ut om vi har en konstant multiplicerat med en funktion.

Vad innebär detta? Deriveringsregler Teori Video­lektion Begrepp Övningar Tidigare lärde vi oss hur formeln för derivatans definition fungerar och hur vi med hjälp av den kan beräkna derivatan i en viss punkt för en given funktion. Nolltegradsfunktioners derivata En nolltegradsfunktion är en funktion med en x 0 -term som den term som har högst gradtal.

Derivatan för några andra vanligt förekommande funktioner Vi ska även derivera några andra vanliga funktioner, men utan härledning med hjälp av derivatans definition.